Fuzzy Logic und neuronale Netze

Inhaltsverzeichnis

1.  Einführung

2.  Das Problem der Welt-Wissenschaft-Fehlpassung

3.  Fuzzy Logic oder multivalente Logik

  3.1  Entstehungsgeschichte der Fuzzy Logic

  3.2  Abstufungs-Prinzip

  3.3  Unscharfe Mengen-Prinzip

  3.4  Das Ganze-im-Teil-Prinzip und die Teilmengigkeit

  3.5  Fuzzy-logische Entropie

4.  Zur Wahrheit

  4.1  Kohärenztheorie

  4.2  Korrespondenztheorie

  4.3  Fuzzy Logic und die Wahrheitsfindung

5.  Fuzzy Logic und die Wahrscheinlichkeitsrechnung

  5.1  Die Bivalenz der Wahrscheinlichkeitsrechnung

  5.2  Der Tod des Zufall

6.  KI und Fuzzy Logic

  6.1  Die mißlungene Intelligentwerdung der Computer

  6.2  Das FA-Theorem der Fuzzy Logic-Systeme

  6.3  KI-Vorschriften versus Fuzzy Logic-Prinzipien

7.  Neuronale Netze und Fuzzy Logic

  7.1  Neuronale Energietücher

  7.2  Neuronale Fuzzy Logic-Regelproduzenten

1. Einführung

Seit Aristoteles vor über 2000 Jahren die Gesetze der formalen Logik begründet hat, ist die westliche Welt dazu übergegangen, die Wahrheit als etwas zweiwertiges (bivalentes) anzusehen: Eine Aussage kann entweder WAHR oder NICHT-WAHR, also FALSCH sein, aber niemals beides zusammen. Das Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten verbietet es der logischen Aussagen A UND NICHT-A, ein anderes Ergebnis als FALSCH hervorzubringen. Die Philosophie und die Wissenschaft lehnen daher Halbwahrheiten ab. Nach ihnen muß alles klar und deutlich als WAHR oder FALSCH erkennbar sein, um ernstgenommen zu werden. Die philosophische Position des Positivismus dominiert das Denken des Westens. Auch sie ist bivalent, schwarz und weiß. Auch sie behauptet, daß etwas ist oder etwas nicht ist, daß es eine klare Trennlinie für Sein oder Nicht-Sein gibt. Ein sinnlich erfahrbares Objekt ist z.B. ein Stuhl oder kein Stuhl und dazwischen gibt es nichts. Wenn also jemand behauptet, dieses Objekt sei ein Stuhl UND gleichzeitig auch nicht ein Stuhl, dann wird er vom Wissenschaftler ausgelacht und für unlogisch erklärt. Die bivalente Logik und der bivalente Positivismus finden ihren Niederschlag in der bivalenten Informatik. Ein Bit ist entweder gesetzt oder gelöscht, WAHR oder FALSCH, Strom an oder Strom aus, 1 oder 0, aber niemals 0.5 oder 0.2. Der Computer versteht nur klare, eindeutige Aussagen, mit vagen, unsicheren Aussagen der Form "WENIG WAHR" oder "SEHR FALSCH" kann er nichts anfangen. Die Wissenschaft ebensowenig. Der Mensch aber schon.

Im Osten der Welt prägte Buddha das Denken, wie es Aristoteles im Westen getan hat. Er glaubte jedoch im Gegensatz zu dem Griechen daran, daß etwas Sein und doch auch gleichzeitig Nicht-Sein kann. Ying und Yang, die zwei extremsten Formen des Seins in der östlichen Philosophie, befinden sich in der Welt als Ganzes in Balance. Die Welt ist also weder nur Ying, noch nur Yang, sie ist beides zusammen, genauer: sie ist zur Hälfte Ying und zur Hälfte Yang. Und diese Annahme prägt auch das logische Denken - es ist vielwertig (multivalent), d.h. eine Aussage kann nicht nur WAHR ODER FALSCH sein, sondern auch WAHR UND FALSCH, also dem aristoteleschen Satz vom ausgeschlossenen Dritten widersprechen. WAHR UND FALSCH heißt aber nicht, wie man in der Schwatz-Weiß-Denkart des Westens vermuten könnte, daß eine Aussage zu 100% WAHR UND zu 100% FALSCH sein kann. Dies wäre tatsächlich unlogisch und würde dem gesunden Menschenverstand widersprechen. Aber sie kann durchaus zu 80% WAHR UND zu 20% FALSCH sein. Sie kann also durchaus fuzzig (unscharf) sein.

2. Das Problem der Welt-Wissenschaft-Fehlpassung

Zenon, der große griechische Philosoph, tritt vor seine Schüler und weist auf etwas vor ihm auf dem Tisch. "Was ist das?" fragt er.

"Ein Haufen Sand" bekommt er als Antwort zurück.

"Richtig, das ist ein Haufen Sand", sagt Zenon lächelnd, nimmt ein paar Sandkörner vom Haufen weg und streut dafür Salzkörner rein. Dann fragt er erneut: "Was ist das?"

Die Schüler sind verblüfft. "Es ist immer noch ein Haufen Sand."

Zenon entnimmt dem Haufen Sand weitere Sandkörner und ersetzt sie durch Salzkörner. "Was ist das?" fragt er ein drittesmal.

Unsicherheit spiegelt sich in den Gesichtern der Schüler. "Ein Haufen Sand", sagt ein Teil von ihnen. "Ein Haufen Salz", sagt ein anderer.

Zenon wiederholt die Prozedur des Austausch von Sand durch Salz, so daß vom ursprünglichen Sandhaufen nur noch wenig Körner übrig sind. "Was ist das?"

"Ein Haufen Salz", behaupten nun seine Schüler.

"Richtig, das ist ein Haufen Salz. Aber wann", fragt Zenon triumphierend, "hat der Haufen Sand aufgehört, ein Haufen Sand zu sein und wurde zu einem Haufen Salz?"

Darauf wußte keiner seiner Schüler eine eindeutige Antwort.

So oder so ähnlich könnte es sich zugetragen haben, als Zenon der Ältere seinen Schülern das berühmtes Sandhaufen-Paradoxon vorgetragen hat. Und obwohl es seit über 2000 Jahre bekannt ist, kann bis heute niemand - nicht einmal die Wissenschaft - eine Antwort auf Zenons letzte Frage geben. Wann hört ein Haufen Sand auf, ein Haufen Sand zu sein, wenn man ihm ständig Sandkörner entnimmt und durch Salzkörner ersetzt? Läßt sich ein Sandkorn bestimmen, an dem der Wechsel vom Sandhaufen zum Nicht-Sandhaufen vollzogen wird? Nein, sicher nicht. Der Wechsel vom Sandhaufen zum Nicht-Sandhaufen vollzieht sich offensichtlich ganz allmählich - es gibt keine scharfe Trennlinie zwischen Sandhaufen und Nicht-Sandhaufen. Es heißt also also nicht an einer Stelle: Das Objekt ist ein Sandhaufen ODER ein Nicht-Sandhaufen. Sondern es heißt kontinuierlich: Das Objekt ist zu x% ein Sandhaufen UND zu 100-x% ein Nicht-Sandhaufen. Die Wahrheit ist nicht bivalent, sondern multivalent. Sie ist nicht schwarz-weiß, sondern sie ist grau.

Die (positivistische) Wissenschaft ist bestrebt, Aussagen zu treffen, die WAHR ODER FALSCH sind. Ein WAHR UND NICHT-WAHR hat sie - Aristoteles Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten folgend - als unzulässig erklärt. Logisch gesehen gibt es also nichts, was einerseits WAHR ist, anderseits aber auch gleichzeitig NICHT-WAHR sein kann. Die Wissenschaft sieht demnach die Welt schwarz und weiß, und Grautöne ignoriert sie einfach. Das Zenon-Paradoxon von oben zeigt uns aber, daß die Welt sehrwohl Grautöne kennt. Mehr noch, der Großteil allen Seins ist grau, denn nur Sonderfälle sind ausschließlich das eine, ohne auch - und sei es noch so gering - ein bißchen das andere zu sein. So sieht die Welt in Wahrheit aus: Männer sind männlich UND ein wenig weiblich, also Mann UND Nicht-Mann, Pazifisten sind friedfertig UND ein wenig kriegerisch, also Pazifisten UND Nicht-Pazifisten, Kugeln sind rund UND ein wenig eckig, also rund UND nicht-rund, Menschen sind klein UND ein wenig groß, also klein und nicht-klein usw. Die Wissenschaft, die die bivalente Logik des Aristoteles zum einzige Instrument der Wahrheitsfindung erkoren hat, sieht dagegen nur Männer ODER Frauen, Pazifisten ODER Nicht-Pazifisten, rund ODER nicht-rund, klein ODER nicht-klein.

Das ist das Problem der Fehlpassung: Die herkömmliche Wissenschaft ist schwarz-weiß, die Welt aber grau. Daher kann die Wissenschaft auch bisher nur Aussagen über Sonderfälle in der Natur treffen, ihr aber über die bivalente Logik niemals im größeren Umfang gerecht werden.

3. Fuzzy Logic oder multivalente Logik

Im vorherigem Kapitel wurde auf die Fehlpassung ziwschen der Welt und der herkömmlichen Wissenschaft hingewiesen, die auf die bivalente Logik des Aristoteles zurückzuführen ist, die nur 100%ig WAHR und 100%ig FALSCH als Wahrheitswerte anerkennt. Wie wir gesehen haben, dominieren in der Welt jedoch Grautöne, die mit "WENIG WAHR", "SEHR WAHR", "FAST NICHT WAHR" oder ähnlichen linguistischen Ausdrücken beschrieben werden müssen, wie dies der Mensch beim Gebrauch der natürlichen Sprache auch schon immer getan hat. Nötig ist also eine Logik, die nicht nur zwei, sondern viele - unter Umständen unendlich viele - Wahrheitswerte kennt. Eine solche multivalente Logik gibt es seit einiger Zeit: die Fuzzy Logic. Sie erlaubt im Gegensatz zur bivalenten Logik Operationen mit unscharfen Mengen, womit sie dem menschlichen Denken wesentlich näher rückt. Doch bevor wir näher auf sie eingehen, wenden wir uns zunächst einmal ihrer Enstehungsgeschichte zu.

3.1 Entstehungsgeschichte der Fuzzy Logic

Vor fast 3000 Jahren erkennte Buddha, daß alle Dinge zwei Seiten in sich vereinbaren. Das Gute trägt auch stets das Böse in sich, das Weiche stets auch das Harte, das Unlebendige stets auch das Lebendige und das Sein stets auch das Nichtsein. Es gibt kleine klare Trennlinie zwischen den Dingen. Werden solche künstlich geschaffen - etwa durch Sprache oder mathematische Definitionen - so werden die Verschränkungen der beiden Seiten in jedem Ding leicht übersehen. Buddha sagt daher nicht: "Der Geist denkt Gedanken über Dinge", was eine einseitige und in diesem Falle unnatürliche Aussage wäre, sondern er sagt: "Der Nichtgeist nichtdenkt Nichtgedanken über Nichtdinge."

Laotse griff die Ideen Buddhas auf und schuf das Ying-Yang-Prinzip des Taoismus, das besagt, daß sich die Welt im Gleichgewicht zwischen zwei extremen Polen befindet, sie also beide gleichzeitig in sich vereint. Somit ist jedes Ding gleichzeitig auch Nicht-Ding. Ein Stock ist z.B. auch ein Nicht-Stock, was man daran erkennen kann, daß man ihn immer weiter zerbrechen kann, ohne daß er dadurch irgendwann einseitig zum Stock oder Nicht-Stock wird. Ying und Yang befinden sich auch in Balance bei den Aussagen: "Das Glas ist halbvoll" und "Das Glas ist halbleer".

Der griechische Philosoph Heraklit erkannte, daß es kein Absolutum gibt, daß sich alles in ewiger Veränderung befindet. "Alles fließt", wie er sich ausdrückte, "nur die Veränderung ist ewig".

Demokrit dagegen behauptete mit dem Atomismus zwei eindeutige Zustände der Welt: Alles Sein besteht aus Atomen, alles Nicht-Sein aus nichts, und Zwischenstufen existieren nicht.

Aristoteles verfeinerte den Atomismus durch die Logik auch auf sprachliche Aussagen. Eine Aussage kann nach ihm nur 100%ig WAHR ODER 100%ig FALSCH sein, niemals aber zu x% WAHR UND zu 100-x% FALSCH. Dies besagt das von ihm geschaffenen, oder besser: behauptete Gesetz des ausgeschlossenen Dritten. In den folgenden Jahrhunderten galt die bivalente Logik als einzige legitime Methode, um mathematische und naturwissenschaftliche Theorien logisch beweisen zu können.

Zenon der Ältere wollte diese Logik nicht so akzeptieren und er schuf Sorites-Paradoxien, die durch nicht klar ziehbare Trennlinie entstehen, um auf seine Mängel hinzuweisen, z.B. das oben beschriebene Sandhaufen-Paradoxon oder auch das Inzezt-Paradoxon, bei dem die Frage gestellt wird, ab wann Inzezt zu Inzest wird: Wenn man die Beine der Mutter berührt? Oder erst, wenn man intimere Stellen berührt? Die Gelehrte nach Zenon räumten diese Paradoxien nicht etwa aus, sondern verdrängten sie, in der optimistischen Annahme, sie würde früher oder später schon gelöst werden. Doch dies geschah nie.

Etliche Jahrhundert nach Zenon kamen bei Russell erneut Zweifel an der Richtigkeit der bivalenten Logik auf. Er schuf dazu das Barbier-Paradoxon. Ein Barbier behauptet hier: "Alle Männer der Stadt, die sich nicht selbst rasieren, werden von mir rasiert." Frage: Wer rasiert den Babier? Diese Frage ist logisch nicht zu beantworten, denn wenn der Babier sich selbst rasiert, dürfte er dies nach seinem Schild nicht tun, wenn er sich aber nicht rasiert, dann müßte er es nach seinem Schild tun - nur so kann die Aussage des Schildes WAHR werden. Aber Russels Kritik an der Logik verunsicherte die Gelehrten nur, ließen sie die bivalente Logik aber nicht definitiv in Frage stellen. Allerdings schlug Russel erstmals vor, wie man das Paradoxon aus dem Weg räumen könnte: Man mußte dazu nur Aristoteles Gesetz vom ausgeschlossenem Dritten aufgeben, also A UND NICHT-A zulassen.

Im 20. Jahrhundert wies die Unschärferelation Heisenbergs daraufhin, daß der Naturwissenschaft natürliche Grenzen gegeben waren, die verhinderten, daß Dinge in eindeutiger Weise definiert werden. So ist es z.B. nicht möglich, den Ort und die Geschwindigkeit eines Elementarteilchens gleichzeitig festzustellen. Daraus resultierte eine dreiwertige Logik: Ein Teilchen ist existent, ist unbestimmt oder nicht-existent, ist also WAHR, UNBESTIMMT oder FALSCH. Der große Traum der Wissenschaft, die Welt in eindeutiger Weise zu beschreiben, war ausgeträumt.

Lukasicwicz ging noch einen Schritt weiter. Er zerhackte den UNBESTIMMT-Wahrheitswert Heisenbergs und schuf so ein Kontinuum von 0 bis 1, in dem sich ein beliebiger Wahrheitswert befinden darf. Die multivalente Logik war geboren.

Weiter ausgebaut wurde die multivalente Logik von Max Black, der sie im Zusammenhang mit der Informationstheorie einsetzte. Allerings sprach er noch von vager Logik.

Den Begriff Fuzzy Logic schuf schließlich der persisch-amerikanische Ingenieur Lotfi Zadeh. Sein Verdienst ist es, daß diese neue Form der Logik, die die bivalenten Wahrheitswerte WAHR und FALSCH nur als Grenzwerte beinhaltete, so populär wurde. Allerings nicht an den Universitäten, sondern zuerst und vor allem in der Wirtschaft. Die Informatiker konnten und können sich vermutlich nur schwer damit abfinden, daß das digitale Prinzip, das man gerade mühsam allgemein durchgesetzt hatte, nun wieder zum analogen Prinzip werden soll, denn die multivalenten Logik fordert nicht nur Bits mit zwei Wahrheitswerten, sondern Fips mit unendlich vielen.

Das es heute bereits viele Fuzzy Logic-Produkte gibt, die die herkömmlichen KI-Ergebnisse bei weitem übertreffen, ist v.a. den Japanern zu verdanken, deren Philosophie - durch Buddha geprägt - die multivalenten Logik viel eher akzeptieren kann, als dies dem aristotelisch geprägtem Westen möglich ist. 1989 schufen in Japan sogar 48 Firmen das Forschungszentrum LIFE, um die Fuzzy Logic auf Anwendungsmöglichkeiten hin zu analysieren. Der Westen hinkt dazu im Vergleich - wieder einmal - weit, weit hinterher.

3.2 Abstufungs-Prinzip

Wie im Abschnitt 5.1 beschrieben wurde, kann eine Aussage bei der Fuzzy Logic unendlich viele Wahrheitswerte zwischen 0 und 1 annehmen. I.d.R. werden diese unendlich vielen Wahrheitswerte in der Praxis auf mehr als zwei diskrete Werte beschränkt. Üblich ist es z.B., die Wahrheitswerte ähnlich wie bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung in Prozentwerten anzugeben, also von 80% WAHR, 20% WAHR usw. zu sprechen. Um den Logikempfinden des Menschen nahezukommen, kann auch eine linguistische Stufung vorgenommen werden, z.B. WAHR, VIEL WAHR, HALBWAHR, WENIG WAHR und FALSCH. Und falls es nötig sein sollte, kann auch wieder die gewohnte bivalente WAHR-FALSCH-Stufung eingesetzt werden.

3.3 Unscharfe Mengen-Prinzip

Fuzzy Logic ermöglicht es mit unscharfen Mengen zu operieren. Bei einer mathematischen - scharfen - Menge, sind alle Elemente voll oder gar nicht enthalten. Zwei solcher scharfen Menge kann man z.B. bilden, indem man Menschen fragt, ob sie männlich oder weiblich sind. Selten lassen sich jedoch Elemente so eindeutig einer Menge zuordnen wie in diesem Fall. Die Fragen: "Wer ist mit seinem Job zufrieden?" und "Wer ist mit seinem Job nicht zufrieden?" wird vermutlich zwei Mengen hervorbringen, die gemeinsame Elemente haben, denn Menschen sind häufig mit ihrem Job zufrieden UND auch nicht zufrieden, daher können sie sich nicht eindeutig, also zu 100%, für eine der beiden Mengen entscheiden. Dies erlebt man ebenso in Schulklassen, wenn man fragt: "Wer weiß die Antwort auf die Frage?" Oft versuchen Schüler dann diesen Zwiespalt dadurch zu lösen, daß sie sich nicht richtig melden, sondern den Arm nur ein wenig anheben. Jeder kann selbt testen, daß Fragen alleine mit "Ja" und "Nein" zu beantworten schwerer ist, als wenn man partielle Antworten wie "fast richtig", "völlig falsch", "jain" usw. geben darf.

3.4 Das Ganze-im-Teil-Prinzip und die Teilmengigkeit

Weiß man, daß ein Element einer unscharfen Menge nur zum Teil darin enthalten ist, dann weiß man auch, in wie weit die ganze Menge im Teil enthalten ist. Dies läßt sich mathematisch konkretisieren: Ist das Element x in der unscharfen Menge X zu y% enthalten, dann weiß man auch, daß die unscharfe Menge X zu y% in x enthalten ist. Dieser Tatbestand liest sich zwar ähnlich wie eine Wahrscheinlichkeitsrechnung und tatsächlich werden auch die gleichen Rechenmethoden und -mittel angewendet, jedoch ist die Aussage letztlich eine ganz andere: es wird hier nicht behauptet, daß sich Element x zu y% Wahrscheinlichkeit ganz in X aufhält, sondern das sich x zu 100% Wahrscheinlichkeit mit y% in X aufhält. Es geht hier also um eine Teilmengigkeit und nicht um ein wahrscheinlichkeitsbedingtes Enthaltensein. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung würde das Ganze-im-Teil-Prinzip im übrigen auch gar nicht zulassen, denn wie sollte die unscharfe Menge X mit einer Wahrscheinlichkeit von y% ganz in x enthalten sein können?

3.5 Fuzzy-logische Entropie

Eine Entropie gibt den Grad der Unsicherheit oder Unordnung in einem System an. Herkömmliche binäre Systeme verleugnen diese Unsicherheit, in dem sie Ereignisse auf- bzw. abrunden, so daß sie zwischen zwei eindeutigen Zuständen wählen können. Das Vereinfacht die Realitär, geht aber auf Kosten ihrer Genauigkeit. Die Fuzzy Logic erlaubt es, die Unsicherheit oder die Unschärfe einer Menge zu messen, also den Grad, in wie weit sie von einem sicheren Zustand entfernt ist. Nehmen wir dazu als Beispiel eine Menge von drei Menschen: Wenn diese sich exakt zwischen "Ja" oder "Nein" entscheiden sollen, gibt es 2^3=8 verschiedene Möglichkeiten für die Werte der Dreiermenge: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110 und 111. Grafisch kann man sich dazu einen dreidimensionalen Würfel vorstellen, dessen 8 Kanten jeweils eine scharfe Ausprägung der Dreiermenge wiedergeben.

Gestattet es man nun der Gruppe, nicht nur zwischen "Ja" oder "Nein" zu wählen, sondern "Ja" mit x% anzugeben, dann füllt sich das Innere des oben aufgespannten Würfels mit unscharfen Elementwerten. Möchte man nun die Entropie eines inneren Punktes messen, kann man nach Bart Kosko folgende Formel einsetzen:

     		                      Strecke vom Punkt zur nächsten Ecke

	fuzzy-logische Entropie =  ------------------------------------ %

     		                      Strecke vom Punkt zur weitesten Ecke

Mathematisch für eine unscharfe Menge A ausgedrückt:

		  A UND NICHT-A 

	E(A) = --------------

		  A ODER NICHT-A 

4. Zur Wahrheit

Was ist Wahrheit? Donald Davidson antwortete darauf: Wahr oder falsch gibt es nur für Gegenstände oder Ereignisse, weil es denkenden Kreaturen wie den Menschen gibt. Außerdem reduzierte die Philosophie die Wahrheit weiter auf die Sprache. machte sie zu einem alleinigen Problem der Sprache. Man kann jeder sprachlichen Aussage eine 1 oder eine 0 zuweisen, je nachdem, ob sie WAHR oder FALSCH ist. Doch diese Auffassung ist wieder bivalent, kann also (vermutlich) nur begrenzte Gültigkeit für sich beanspruchen. Sehen wir uns dazu zwei verschiedene Wahrheitsbegriffe an.

4.1 Kohärenztheorie

In Kohärenztheorien wird mit einem logischen Wahrheitsbegriff gearbeitet. Wahr ist hier etwas, wenn es kohärent, also zusammenhängend, zum Ganzen ist, wenn es sich also aus irgendwelchen Axionen herleiten läßt. Alle formalen Systeme (z.B. die Mathematik) sind Kohärenzsysteme. Ihre logischen Wahrheitsbegriffe benötigen keinerlei Korrespondenz zur Realität und sie müssen nicht interpretiert werden, aber sie müssen innerhalb des Systems konsistent sein.

4.2 Korrespondenztheorie

In Korrespondenztheorien wird mit einem faktischen Wahrheitsbegriff gearbeitet. Hier ist eine Ausage dann und nur dann WAHR, wenn sie mit den Tatsachen übereinstimmt. Der faktische Wahrheitsbegriff korrespondiert also mit der Raumzeit, was bedeutet, daß er sich unter Umständen ändern kann. Z.B. ist die Aussage "Die Erde dreht sich" nur WAHR, falls die Erde sich tatsächlich dreht.

4.3 Fuzzy Logic und die Wahrheitsfindung

Die oben beschriebenen Wahrheitsbegriffe sind beide bivalent, d.h. entweder 100%ig WAHR oder 100%ig FALSCH. Auch wenn der faktische und der logische Wahrheitswert dieselbe Aussage beurteilen, müssen sie nicht übereinstimmen. Kant jedoch glaubte, daß es einen idealisierten Wahrheitsbegriff gibt, der logisch wie faktisch stets den selben bivalenten Wahrheitswert trägt. Dazu müßte der Mensch Kraft der a-priori vorhandenen Ideen in der menschlichen Vernunft ein formales System erschaffen (wie z.B. die Mathematik). Die Positivisten verwarfen diese Vorstellung wieder, denn für sie existieren keine Verbindungen zwischen Geist und Materie. Für sie zählt alleine der faktische Wahrheitsbegriff: eine Aussage ist WAHR, wenn sie mit den Tatsachen übereinstimmt, ansonsten ist sie FALSCH. Wie bereits erwähnt reduzierten die Positivisten, allen voran Carnap, die Wahrheit schließlich auf das Studium von Worten. Hier bekamen sie Problemen, denn wie soll man z.B. die Aussage "Gras ist grün" beurteilen? WAHR wäre positivistisch gesehen nicht zulässig, denn nebem grünen Gras existiert auch braunes oder schwarzes - Gras ist eine unscharfe Menge. Die Aussage ist also FALSCH, genauso wie auch alle anderen Aussagen mit unscharfen Mengen FALSCH wären. Doch da diese wie oben gezeigt eindeutig in der Natur dominieren, endet der strenge Positivismus unweigerlich im Nihilismus. Auch der Versuch, sich durch Prozentangaben aus der Klemme zu helfen, muß scheitern. "Gras ist zu 90% grün" ist WAHR bedeutet, daß Gras mit einer 90%igen Wahrscheinlichkeit ganz grün ist - aber ganz grün ist natürliches Gras nie, daher ist im positivistischen Sinne ein WAHR hier wieder nicht möglich.

Wenden wir dagegen die Fuzzy Logic an, haben wir keine Probleme. Auch hier wird der faktische Wahrheitsbegriff eingesetzt. Jedoch gibt es diesmal keine klare Trennung zwischen WAHR und FALSCH, denn der fuzzy-logische Wahrheitsbegriff ist nicht bivalent, sondern multivalent. Wenn wir also die Aussage "Gras ist grün" hören, können wir sie fuzzy-logisch mit z.B. 90% WAHR beantworten. Ein anderer könnte antworten: zu 85% WAHR. Wieder ein anderer: zu 93% WAHR. Jeder könnte den Wahrheitswert nennen, der seinem eigenem Gefühl und seiner eigenen positivistischem Erfahrung entspricht, ohne dabei zu einer unnatürlichen Auf- und Abrundung gezwungen zu sein. Als Endergebnis könnte man den Mittelwert aller Wahrheitswerte nehmen. Das ist dann zwar kein objektiver, dafür aber ein intersubjektiver und demokratisch ermittelter Wert für die Wahrheit einer Aussage, der sicher mehr Akzeptanz findet, als ein dogmatisches WAHR oder FALSCH.

5. Fuzzy Logic und die Wahrscheinlichkeitsrechnung

5.1 Die Bivalenz der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Oft hört man von Kritikern der Fuzzy Logic, sie sei nichts anderes als Wahrscheinlichkeitsrechnung in neuem Gewand. Doch dies trifft nicht zu. Einzig die Formeln, die Mathematik der Fuzzy Logic ähnelt der der Wahrscheinlichkeitsrechnung sehr, will aber letztlich etwas ganz anderes beweisen. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist wie die herkömmliche Logik bivalent. In ihren Mengen geht es um Elemente, die entweder ganz oder gar nicht, nie aber nur zum Teil enthalten sind. Daran ändern auch Wahrscheinlichkeitsangaben nichts. Dazu ein Beispiel:

Bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung werden stets Annahmen aufgestellt, die die Realität vereinfachen, z.B. soll es fair zugehen. Es wird dann gesagt: Auf einem Parkplatz stehen 100 Parkplätze zur Verfügung, d.h. das gerade eben parkende Auto wird mit einer Wahrscheinlichkeit von (100/100)% auf einen bestimmten Parkplatz stehen bleiben, d.h. das das nächste Auto wird mit einer Wahrscheinlichkeit von (100/99)% auf einem bestimmten Parkplatz stehen bleiben usw. Am Ende ist nur noch ein Parkplatz frei; kommt jetzt noch ein Auto, dann wird es zu (100/1)% dort parken.

Nach obigem Muster befinden sich zuletzt 100 Fahrzeuge auf genau 100 Parkplätzen. Doch entspricht dies der Realität? Läuft man über einen beliebigen Parkplatz, wird man ein ganz anderes Bild zu sehen bekommen: Parkplätze sind nur halbbelegt, so daß sich drei Autos zwei Parkplätze teilen, breite Fahrzeuge belegen nicht nur einen, sondern zwei Parkplätze usw. Es ist unwahrscheinlich, daß auf einem realen Parkplatz die Anzahl der belegten Plätze mit denen der Fahrzeuge genau übereinstimmt.

Selbst wenn man nun versuchen sollte, die Wahrscheinlichkeitsrechnung zu bemühen, daß ein Fahrzeug nicht nur auf einem Parkplatz, sondern zwei steht, trifft man den realen Tatverhalt nicht. Denn "das Auto steht zu 30% auf Parkplatz A und zu 70% auf Parkplatz B" heißt ja nur, daß das Fahrzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von 30% auf Parkplatz A bzw. 70% auf Parkplatz B steht, also entweder oder und voll und ganz. Die Fuzzy Logic erlaubt dagegen die abgestufte Teilhaftigkeit, hier wäre "das Fahrzeug steht auf Parkplatz A" zu 30% WAHR und "das Fahrzeug steht auf Platz B" zu 70% WAHR, der tatsächliche Tatbestand wiedergegeben, der Wahrheitswert also faktisch korrekt.

Fassen wir nocheinmal zusammen:

* Die Wahrscheinlichkeitsrechnung beschreibt, ob zufällige Ereignisse ganz oder gar nicht stattfinden.

* Die Fuzzigkeit beschreibt, bis zu welchem Grad Ereignisse stattfinden.

5.2 Der Tod des Zufall

Einstein war maßgeblich an der Entwicklung der Quantenmechanik beteiligt. Nach dieser Theorie herrschen im Mikrokosmos der Elementarteilchen die Gesetze der Wahrscheinlichkeitsrechnung, d.h. es kann nicht genau bestimmt werden, wo sich ein Teilchen befindet, sondern es kann nur bis zu einem gewissen Grad vermutet werden, daß es sich dort befindet. Atombewegungen sind zufällig und können daher nur durch Wahrscheinlichkeiten eingegrenzt werden. Da nun aber das gesamte Makrokosmos auf dem Mikrokosmos aufsitzt, hält der Zufall auch hierherein Einzug. Einstein gefiel diese Vorstellung nicht, daher distanzierte er sich später von der Quantenmechanik. "Gott würfelt nicht", erklärte er dazu.

Man kann sich tatsächlich Fragen: Gibt es soetwas wie Zufall? Oder ist doch letzlich alles auf deterministische Zusammenhänge, auf Kausalitäten, zurückzuführen? Konrad Lorenz dachte, nur Ereignisse, zwischen denen ein Energieübertrag stattgefunden hat, können kausal zusammenhängen, d.h. der Zufall ist in der Welt durchaus vorhanden. Doch möglicherweise erliegt hier Lorenz wie auch die meisten anderen einem eingeborenem Instinkt, den man den Wahrscheinlichkeitsinstinkt nennen könnte. Es bringt dem Menschen zweifellos große biologisch-selektive Vorteile, wenn er in der Lage ist, zukünftige Ereignisse im Voraus vermuten zu können. Ein dem Zeitstrom unterworfenes Wesen kann sich mittels eines Wahrscheinlichkeitsinstinkt wesentlich besser auf Probleme einstellen, die sein Überleben gefährden, als ein Wesen, das diesen Instinkt nicht besitzt. Doch angeborenen Ideen wie der Wahrscheinlichkeitsinstinkt müssen die Tatsachen nicht wiedergeben, um effektiv zu sein. Man denke dazu an den menschlichen Rauminstinkt: auch er gauckelt uns verschiedene Höhen und Längen von einunddenselben Strecken vor, um uns davor zurückzuhalten, irgendwo hinunterzuspringen.

Wir postulieren also einen Wahrscheinlichkeitsinstinkt, der uns den Zufall als gegeben annehmen läßt, der uns aber gleichzeitig hilft, diesen Zufall in gewissem Grad berechenbar zu machen. Wie erwähnt, ist die Existenz für einen solchen Wahrscheinlichkeitsinstinkt kein Grund, daß es in der Realität tatsächlich soetwas wie Zufall gibt. Wir behaupten sogar, es gibt ihn nicht. Um es mit David Hume zu sagen: der Zufall ist nur ein Glaube aufgrund unserer Unkenntnis von den wirklichen Ursachen eines Ereignisses. Zwar scheinen einige Dinge tatsächlich rein Zufällig zu geschehen, doch letztlich lassen sie sich immer auf irgendwelche Ursachen zurückführen, die sich ihrerseits auf Ursachen zurückführen alssen usw. Diese Ursachenfindung ist nur so aufwendig, so vielfältig, daß der Mensch dazu nicht in der Lage ist - selbst unter Einsatz modernster Technik nicht. Dies hat auch die Chaostheorie erkannt, die ebenfalls von einem deteministischen Universum ausgeht und nicht von einem zufälligem.

Um nocheinmal zu verdeutlichen, daß es keines Zufalls bedarf, um Ereignisse zu erklären, kann man sich einen Film vorstellen, der einen Apfel an einem Baum zeigt. Nun sagt der Wahrscheinlichkeitsinstinkt: Es ist zu erwarten, daß dieser Apfel mit x% Wahrscheinlichkeit vom Baum fällt. Und tatsächlich: Minuten später fällt der Apfel plötzlich und - offenbar - zufällig vom Baum herunter und landet im Gras. Nun stelle man sich vor, wie dieser Film rückwärtsläuft: der Apfel springt aus dem Gras an den Baum zurück und bleibt dort hängen. Hier ist der Zufall nicht mehr zu sehen, die Wahrscheinlichkeit verschwunden, denn der Apfel ist vorher nicht wahrscheinlich, sondern definitv heruntergefallen, was man nun zurückverfolgen kann. Bei mehrmaligem Betrachten erkennt man vielleicht sogar den Grund dafür, daß der Apfel vom Baum fiel, z.B. weil Wind aufgekommen war.

Wahrscheinlichkeiten und damit Zufall kennt nur ein Wesen, das vorwärts in die Zeit blickt. Könnte es rückwärtsblicken, würde es nur eine Kette von Kausalitäten erkennen. Viele Formeln, die die Arbeitsweise des Universums annäherungsweise wiedergeben, gelten vorwärts wie rückwärts in der Zeit, sind also unabhängig von Wahrscheinlichkeiten und Zufall. Der Zufall ist kein Faktum der Natur, sondern bloß eine Illusion des vorwärtsdenkenden Menschen. Aber ist es nicht so, daß die Gesetze der Quantenmechanik auf der Wahrscheinlichkeit basieren? Ist die Quantenmechanik also unzutreffend? Nicht unbedingt, denn die Wahrscheinlichkeiten lassen sich auch über die Teilmengigkeit von unscharfen Mengen darstellen, und diese kommen völlig ohne Zufall aus. Gleichzeit wird die Quantenmechanik dadurch erweitert, daß sie mit Hilfe der Fuzzy Logic auch nicht von nur zwei Zuständen ausgehen muß - ein Elementarteilchen existiert oder exitiert nicht -, sondern sagen kann: ein Elementarteilchen existiert zu x%. Das in subatomarer Ebene auch noch Teilmengigkeit möglich ist, hat uns die Spaltung der Atome bewiesen. Es ist zu erwarten, daß auch die Quarks irgendwann weiter geteilt werden können. D.h. die Welt wird auch in den kleinsten Dimensionen nie schwarz-weiß werden, sondern bleibt immer grau - grau wie die Fuzzy Logic.

6. KI und Fuzzy Logic

6.1 Die mißlungene Intelligentwerdung der Computer

Vor 30 Jahren sagte die Forscher der Künstlichen Intelligenz eine glänzende Zukunft voraus. Zukunftsvisionen von hyperintelligenten Robotern machten die Runde. Die Menschheit richtete sich darauf ein, daß in naher Zukunft die Maschinen das Denken übernehmen würden. Doch was ist von all diesen Erwartungen geblieben? Nichts, die KI hat nicht auch nur ein einziges, hlabwegs intelligentes System hervorgebracht, außer auf Gebieten, die mathematisch zu bearbeiten sind, wie z.B. Schach. Die vieldiskutierten Expertensysteme verpufften zur Beinahe-Bedeutungslosigkeit. Computer stehen in jedem Büro, doch das Denken nehmen sie einem noch lange nicht ab. Was ist passiert? Warum haben sich die Hoffnungen der KI-Forscher nicht erfüllt?

Die KI-Forscher sagen: bisher waren die Ergebnisse entäuschend, da die Computer noch nicht genügend Kapazität besitzen, um alle bivalenten Wenn-dann-Regeln der Experten aufnehmen zu können. Derzeit kann ein XPS ca. 1000 Regeln bearbeiten, ein System müßte aber aus über 100000 Regeln Schlüsse ziehen, um intelligent zu sein. Es ist jeoch nur eine Frage der Zeit, bis dieses Ziel erreicht wird.

Die Fuzzy Logic-Forscher sagen: Falsch, ihr braucht nicht mehr bivalente Wenn-dann-Regeln, sondern nur multivalente Wenn x% A-dann y% B-Regeln einzusetzen. Mit Hilfe einer einzigen multivalenten Regel kann man etliche bivalente Regeln ersetzten. Aus diesem Grund benötigen Fuzzy Logic-Systeme vergleichsweise wenige Regeln, um intelligent und menschenmäßig zu agieren. Sie sind auch wesentlich einfacher zu Programmieren, da sie ohne ein matematisches Modell auskommen. Und darüber hinaus sind sie auch flexibler: der Wenn-Teil muß nicht 100%ig erfüllt sein, damit die Regel feuert, sondern nur zu einem beliebig kleinen Prozentsatz. Ändert sich also eine Regel im Laufe der Zeit geringfügig, wird sie in Fuzzy Logik-Systemen noch immer berücksichtigt, während sie in KI-Systemen zum nutzlosen Ballast wird.

6.2 Das FA-Theorem der Fuzzy Logic-Systeme

Fuzzy Logic-Systeme arbeiten nach dem FA-Theorem (Fuzzy Aproximate Theorem), welches besagt, daß jede Kurvenfunktion, die z.B. ein natürliches Verhalten von irgendetwas wiederspiegelt, mit Hilfe endlich vieler fuzziger, sich selbst überlappender "Flecken" überdeckt werden kann. Solche Flecken werden in Fuzzy Logic-Systemen mit Hilfe einfacher Wenn-dann-Regeln repräsentiert, die bei unscharfen Input unscharfen Output produzieren können. D.h. die Fuzzy Logic-Systeme versuchen nicht die Kurvenfunktion mathematisch exakt zu bestimmen, sondern sie nur ungefähr zu approximieren. Dabeoi wird die Annäherung absichtlich nicht zu weit getrieben, so daß die Kette der FAT-Flecken auch noch dynamische Funktionen erfassen können. Auf diese Weise können äußerst komplizierte Vorgänge in der Natur, deren exakte Funktion aufgrund der meist üblichen Linearitärt der Mathematik kaum herauszubekommen ist, auf relativ einfache Weise "erschlagen" werden. Auch Menschen gehen auf diese Weise vor, wenn sie zukünftige Ereignisse auf annähernd funktionelle Weise bestimmen wollen.

Dem Japaner Sugenon des LIFE-Forschungsinstituts gelang es, mit fuzzy-logischen Regeln eine äußerst komplizierte Funktion in den Griff zu bekommen, die das Flugverhalten eines Hubschraubers mit nur einem Rotorblatt wiedergibt. Es gibt keinen Menschen und erst recht kein KI-System, was einen solchen Hubschrauber fliegen könnte. Aber das Fuzzy Logic-System Sugenons gelingt dies mit Leichtigkeit, obwohl es dazu nur lächerliche 100 fuzzy-logische Regeln benötigt.

6.3 KI-Vorschriften versus Fuzzy Logic-Prinzipien

Um zu demonstrieren, wie es sein kann, das ein Fuzzy Logic-System so viel weniger Regeln benötigt als ein KI-System, kann man sich sich den Unterschied zwischen den Vorschriften und den Prinzipien im Rechtssystem klarmachen. Ein KI-System arbeitet mit Vorschriften, die in eigen Fällen greifen, und zwar genau dann, wenn exakt ihr Wenn-Teil erfüllt wurde. Um alle möglichen Wenn-Fälle anzudecken, muß es eine sehr große Anzahl von Vorschriften geben. Die Komplexität des Vorschriftensystems expandiert noch dadurch, daß Vorschriften häufig Änderungen erfahren (im Gegensatz zu den ihnen zugrundeliegenden Prinzipien), daß z.B. Falschparken in der Innenstadt irgendwann 15 DM, statt wie bisher 10 DM kostet.

Die Fuzzy Logic verzichtet auf eindeutige Wenn-dann-Regel, genauso wie sie nicht wartet, bis ein Fall einen Wenn-Teil zu 100% erfüllt. Fuzzy Logic-systeme arbeiten mit relativ wenigen Prinzipien, aus denen die Vorschriften abgeletetet werden können. Ein solches Prinzip ist im Rechtssystem z.B. "Vor dem Gesetz sind alle gleich". Im Gegensatz zu Vorschriften, greifen bei beliebigen Fällen alle Prinzipien, zumindestens zu einem bestimmten Teil. Fuzzy Logic-Systeme summieren einfach den Output der Wenn-dann-Regel-Anteile und erhalten nach einer Entfuzziierung einen gemittelten Output zurück.

Wir fassen zusammen: KI-Systeme arbeiten mit vielen, veränderlichen und eindeutigen Wenn-dann-Vorschriften, die nur bei ebenso eindeutigen Mengen greifen, während Fuzzy Logic-Systeme mit wenigen, relativ konstanten und gewichtenden Wenn-dann-Prinzipien arbeiten, die alle bei unscharfen Mengen bis zu einem gewissen Grad greifen.

7. Neuronale Netze und Fuzzy Logic

7.1 Neuronale Energietücher

Neuronale Netze simulieren die Arbeitsweise des Gehirns. Die Neuronen sind dabei Bausteine, die Strom speichern können und erst ab einer gewissen Spannung zu feuern beginn, d.h. sie arbeiten nach dem Alles-oder-Nichts-Prinzip. Jedes Neuron ist vernetzt mit vielen anderen Neuronen. Wenn ein Neuron feuert, gibt es seine Stromstärke an die anderen angeschlossenen Neuronen weiter, die dann evtl. ebenfalls feuern. Da Neuronale Netze i.d.R. rückkoppelnd arbeiten, kann es einen Weile dauern, bis das Neuronale Netz nach einem Input einen stabilen Zustand eingenommen hat. Ein solcher stabiler Zustand stellt ein gelerntes Faktum dar.

Stellt man sich das Neuronale Netz als ein Energietuch vor, dann gräbt ein gelernter Zustand einen Graben in das Tuch hinein. Erfolg der gleiche Input nochmal, erfährt das Loch eine weitere Vertiefung. Erfolgen dagegen ständig andere Inputs, dann kann es passieren, daß der Graben im Energietuch allmählich verwischt, weil er durch andere Gräben von neu Gelerntem in der Nähe überdeckt wird - das Neuronale Netz beginnt dadurch, das gelernte Faktum zu vergessen. Man kann sich das ähnlich vorstellen, wie bei einem Rasen, in dem man ein Wort reingemäht hat: wird das Wort nicht regelmäßig nachgemäht, dann wird es irgenmdwann verblaßt sein.

Ein in ein Neuronales Netz eingespeister Input - i.d.R. die gleichzeitige Aktivierung einiger Neuronen - wirkt wie ein Ball, der an einer bestimmten Stelle auf das Energietuch fällt und sofort in den nächsten Graben zu rollen beginnt. D.h. der Input muß nicht jedesmal alle Gräben durchsuchen, bis er den richtigen gelernten Output-Graben findet. Beim Menschen funktioniert dies genauso: man erinnert sich z.B. an das Bild der Eltern immer gleich schnell, auch wenn man im Laufe seines Lebens tausende von Gesichern im Gedächnis gespeichert hat. Auch das Vergessen funktioniert beim Menschen ähnlich: fehlt der Input, dann werden die Synapsen zwischen den Neuronen gekappt. Denkt man ständig den gleichen Input, dann sorgen Myelinscheiden dafür, daß die ursprünglich dünnen Neuronenbahnen zu den reinsten "Autobahnen" werden.

Ein Neuronales Netz kann genau dann auf einen bestimmten Input einen bestimmten Output liefern, wenn es diesen Output zuvor gelernt hat. Gelernt heißt, daß das Neuronale Netz an seinen Neuronen einen bestimmten Energiewert eingenommen hat, die vorzugsweise in Form lokaler Minima im Energietuch anzutreffen sind. Hat ein Neuronales Netz viele Inputs gelernt, dann gleicht sein Energietuch einem Gebirge, d.h. die Stromwerte der einzelnen Neuronen haben sich auf einen bestimmten Wert eingependelt, der sich bei neunen Inputs außer an bestimmten Stellen (nämlich dort, wo dias neue Faktum gelrnt wird) nur wenig ändert, da sonst das alte Gelernte wieder gelöscht wäre. Daran erkennt man: die Kapazität von Neuronalen Netzen ist begrenzt, jeder neue Input ändert das Neuronale Netz, jede Wiederholung eines Inputs verstärkt die spezifische Ausprägung im Energietuch, die den Output ausmacht und das Neuronale Netz pendelt sich auf einen bestimmten Energiezustand ein, der vorher nicht absehbar ist. Neuronale Netze sind selbstorganisierend, d.h. die Neuronen brauchen nicht zu wissen, wie sie einen Information speichern sollen, sondern sie tun dies einfach augrund der Inputs und des eigenen Potentials. Durch die Rückkopplung und die hohe Anzahl der Neuronen verhalten sich Neuronale Netze auf ungehuer komplexe Weise. Daher kann man auch nicht den Neuronen von Beginn an bestimmte Energiewerte zuweisen, um bestimmte Outputs zu erhalten. Man muß es ihnen konsequent durch immer wieder gleiche Inputs beibringen.

7.2 Neuronale Fuzzy Logic-Regelproduzenten

Neuronale Netze verarbeiten bestimmte Inputs und liefern daraufhin bestimmte Outputs. Sie tun dies in sehr ähnlicher Weise wie der Mensch. Keiner kann genau sagen, warum ein Neuronale Netz auf bestimmte Inputs gerade dieses und kein anderes Energiemuster bildet, aber das ist auch gar nicht nötig. Wichtig ist nur, daß es seinen Zustand zunehmend stabilisiert, selbt wenn der Input leicht variiert. D.h. das Neuronale Netze früher oder später genauso unscharfe Inputs bverarbeiten können, wie das menschliche Gehirn. Die Outputs, die sie liefern, stabilisieren sich aber dagegen. Und genau das können sich Fuzzy-Logiker zunutze machen.

Das große Problem der Fuzzy-Logiker ist es, multivalente Wenn-dann-Regeln auzustellen, die bei unscharfem Input einen gewünschten, möglichst scharfen Output liefern können. Solche Regeln zu finden ist sehr schwierig - so schwierig, daß sie möglicherweise in Zukunft sogar patentierbar werden. Ein Neuronales Netz kann den Fuzzy-Logikern helfen, diese angestrebten scharfen Outputs auf unscharfe Inputs zu liefern, wie wir oben gesehen haben. Sie sind hervorrgagend als DIRO-Systeme (Data-in-Roul-out) einsetzbar. Und genau hier werden wohl Neuronale Netze ihr Haupteinsatzgebiet finden, denn die Fuzzy Logic, diese multivalente Logik einer neuen grauen Welt, die hält nun niemand mehr auf.