ANHANG A: Zwei Projekte des Zentrums für Europäische Wirtschaftsforschung

Insolvenzanalysen mit Neuronalen Netzwerken

Prof. Dr. Dr. h.c. Heinz König

Dipl.-Wirtsch.-Inf. Andrea Szczesny

Dipl.-Stat. Olaf Korn

Dipl.-Wirtsch.-Ing. Ulrich Anders

Dr. Martin Kukuk

Die Gesamtzahl der Insolvenzen ist in den vergangenen Jahren stark angestiegen. Ein Ende dieser Entwicklung ist noch nicht abzusehen. Die lange Talfahrt der zurückliegenden Rezession hat die Unternehmen ausgezehrt. Banken sind bei der Kreditvergabe vorsichtiger geworden. Gerade kleine und mittelständische Unternehmen brauchen jedoch Unterstützung durch Kreditinstitute. Für die Zukunft ist es daher wünschenswert, Analyseverfahren zu entwickeln, die eine kundenindividuelle Bewertung von Kreditrisiken ermöglichen. Fast alle Kreditinstitute, der Deutsche Sparkassen- und Giroverband setzen seit mehreren Jahren statistische Verfahren zur Einschätzung des Kreditrisikos ein, unter anderem lineare Regressions- und Diskriminanzanalyseverfahren. Neben diesen klassischen Verfahren bieten sich neuere quantitative Methoden wie der Einsatz Neuronaler Netzwerke an.

Das Forschungsprojekt gliedert sich in zwei Bereiche. Zum einen werden verschiedene Verfahren zur Kreditwürdigkeitsanalyse gegenübergestellt und bewertet. Ein Schwerpunkt liegt dabei auf moderneren Verfahren der wissenschaftlichen Literatur. Im Rahmen einer empirischen Analyse soll zum anderen ein System entwickelt werden, das den Anforderungen der Praxis gerecht wird und sich gut für Prognosen von Insolvenzen und Kreditausfallrisiken eignet. Die im Forschungsbereich Industrieökonomik und Internationale Unternehmensführung gesammelten und aufbereiteten Daten des VCC bilden hierfür die vielversprechende Analysebasis.

April 1995 - November 1996

Einsatz künstlicher Neuronaler Netzwerke im Finanzbereich

Prof. Dr. Dr. h.c. Heinz König

Dipl.-Wirtsch.-Ing. Ulrich Anders

Dipl.-Wirtsch.-Inf. Andrea Szczesny

Neuronale Netzwerke sind eine leistungsfähige und flexible Klasse von statistischen Verfahren in der Ökonometrie. Neuronale Netzwerke sind parametrische Verfahren. Der wesentliche Unterschied zu herkömmlichen parametrischen Verfahren besteht darin, daß sie keine Annahmen über die funktionale Form des zu approximierenden Zusammenhangs benötigen. Der Einsatz von Neuronalen Netzwerken bietet sich gerade deshalb bei ökonomischen Fragestellungen an, da in der Regel dort die Wirkungszusammenhänge zwischen den ökonomischen Größe ex ante nicht bekannt sind. Neuronale Netzwerke lassen sich darüberhinaus auch als nichtparametrische Verfahren interpretieren, die in den letzten Jahren in der wissenschaftlichen Literatur verstärkt Beachtung gefunden haben.

Das Projekt beschäftigt sich in methodischer Hinsicht mit dem Modellbildungsprozeß beim Einsatz Neuronaler Netzwerke unter einer ökonomischen Perspektive. Die iterative Vorgehensweise bei der Modellierung mit Neuronalen Netzwerken unterteilt sich dabei in vier Schritte: Identifikation der Daten, Spezifikation des Modells, Schätzung der Parameter und Diagnose des Modells. Die Iteration dieser Schritte soll erst abgebrochen werden, wenn die Diagnose des Modells zufriedenstellend ist.

Die gewonnen methodischen Erkenntnisse sollen für die Erklärung und Prognose von Finanzmarktdaten sowie zur Analyse der Preisbildung von Finanzderivaten am Markt mittels Neuronaler Netwerke zum Einsatz kommen.

Juli 1994 - Juni 1998

Betrachtet werden die univariaten Zeitreihen (Variablen) mit 50 Beobachtungen

x = {0.02, 0.04, 0.06, ..., 0.98, 1},

y = x².

Eine lineare Einfachregression regressiert y auf x folgendermaßen:

Die Regressionsfunktion ist - bedingt durch nur eine Eingabevariable - eine Gerade, die die "Natur" der wahren Funktion nicht abbilden kann. Um die Nichtlinearität von y zu erklären, wird über Neurometricus ein neuronales Netzwerk generiert, welches ein Eingabeneuron, ein verstecktes Neuron und ein Ausgabeneuron enthält. Dadurch ergibt sich folgendes Resultat:

In diesem Fall gibt die Regressionsfunktion die quadratische "Natur" der wahren Funktion korrekt wieder. Bias und Varianz fallen dadurch erheblich kleiner aus, als beim linearen Regressionsmodell. Untenstehende Tabelle gibt das grafisch gezeigte Ergebnis in metrischer Form wieder. Als Gütemaß für die Schätzung des Modells wurde dabei das in der Statistik übliche R²-Kriterium herangezogen.

Sei X die Menge von i unabhängigen Variablen, y die Menge der abhängigen Variable und t die Anzahl der Beobachtungen je Variable von X und y. Die vermutete funktionale Beziehung zwischen X und y läßt sich dann in Matrixnotation folgermaßen formulieren:

wobei F die gesuchte Regression darstellt und e einen Störterm repräsentiert, der per (später zu überprüfenden) Annahmen einen Erwartungswert E[e |X]=0, sowie eine unabhängig von X seiende Normalverteilung besitzt. F wird auch wahre Funktion genannt. Ziel ist es, eine Funktion f(wh,X) zu finden, die die wahre Funktion F möglichst genau approximiert. Der Verlauf der Approximationsfunktion wird dabei maßgeblich durch die Modellparameter wh bestimmt, wodurch sich das Problem auf die Suche der wahren/optimalen Parameter w für wh reduziert.

Man betrachte nun folgendes einfaches lineares Regressionsmodell:

mit den Annahmen:

E[e e ‘]=s ^2× I (Homoskedastizität).

Dieses lineare Regressionsmodell läßt sich über Neurometricus als neuronales Netzwerk implementieren, indem nur i Alpha-Gewichte allokiert werden. Für den Ist-Output, den die Netzwerkfunktion (nach der Schätzung der wahren Parameter w) für (wh,X) liefert, gilt dann:

Das zugehörige, durch die Schätzung von wh zu minimierende Zielkriterium des Mean Squared Errors berechnet sich durch

Durch Zerlegung des MSE erhält man

den systematischen und unsystematischen MSE, wobei MSE_u=e entsprechen sollte, also durch kein Modell erklärbar ist. Der MSE_s läßt sich dagegen weiter aufteilen in

da er als Punktschätzer des MSE interpretiert werden kann. Über diesen mathematischen Zusammenhang kann das in der Arbeit beschriebene Bias-Varianz-Dilemma begründet werden, zumal allgemein für Punktschätzer gilt:

woraus ersichtlich wird, daß der Bias mit steigendem Freiheitsgrad sinkt, die Varianz dagegen wächst.

Das Zielkriterium der Maximum-Likelihood-Methode zur Bestimmung der optimalen Parameter wh basiert ebenfalls auf dem MSE, sofern normalverteilte Residuen vorausgesetzt werden können. Das läßt sich folgermaßen zeigen:

Sei eine Menge von Beoabachtungen (x₁,x₂,...,x_T) gegeben, die unabhängig voneinander gemäß der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung P(X|w) der Zufallsvariable X gezogen wurden. Dann wird die Verteilung der Wahrscheinlichkeiten von P in eindeutiger Weise durch w festgelegt. Mit anderen Worten: Kennt man w, so kennt man auch P für X. Nach dem Produktionsgesetz für unabhängigen Zufallsvariablen gilt für P:

Diese sogenannte Maximum-Likelihood-Funktion liefert in Abhängigkeit von der Schätzung wh der Parameter w eine bestimmte Wahrscheinlichkeit für die erhobenen Variablenausprägungen zurück. Ziel ist es, diejenigen Parameter wh zu bestimmen, bei dem die beobachteten x₁,x₂,...,x_T bei dem gegebenem P am wahrscheinlichsten sind. Um dieses funktional gegebene Maximum der Likelihood-Funktion zu finden, wird sie üblicherweise erst einmal durch Logarithmierung in Summenform transformiert. Das ist ohne Änderung der Positionen der Extrema möglich. Für den Logarithmus gilt:

Man erhält so die zu maximierende Log-Likelihood-Funktion

Um zu verstehen, wie eine neurometrische Schätzung über die Maximum-Likelihood-Methode vorgenommen wird, sei nun das folgende einfache neuronale Netzwerk betrachtet:

Wie zu erkennen, allokiert das Modell insgesamt fünf Parameter: w=(g₁,g₂,b,a₁,a₂). Als Eingabevektoren dienen die unabhängigen Variablen x₁ und x₂. Sie bestehen jeweils aus T Beobachtungen und bilden zusammen die Eingabematrix X=(x₁,x₂). Die (sigmoide) Aktivierungsfunktion des versteckten Neurons ist mit gh, die (lineare) Ausgabefunktion mit go bezeichnet. Vom Modell geliefert wird die univariate Variable y. Typische Kandidaten für die Transfer- und Ausgabefunktion plus erster und zweiter Ableitung sind z.B.:

• Tangens hyperbolicus: gh(x) = tanh(x)
  gh’(x) = 1-tanh(x)²
  gh’’(x) = 2× [tanh(x)³-tanh(x)]
• Identische Funktion: go(x) = x
  go’(x) = 1
  go’’(x) = 0

Zur Bildung der Maximum Likelihood-Funktion (= negierte Kostenfunktion) wird folgende Formel herangezogen:

wobei F(X) die zu approximierende Funktion, f(w,X) die Netzwerkfunktion und W die Kovarianzmatrix der Parameter bezeichnet. Sie basiert auf der Dichtefunktion der multivariaten Normalverteilung:

f (x) =

Für das oben dargestellte neuronale Netzwerk ergibt sich dadurch folgende Formelsammlung:

• Residuen: u = F(X)-f(w,X); Soll-Ist-Abweichungen
• Netzwerkfunktion: f(w,X) = go(ro)+a_1× x₁+a_2× x₂; Ist-Output des Modells
• Received Output: ro = b× sh; Signale, die an das Ausgabeneuron gehen
• Signal Hidden: sh = gh(rh); Signale, die vom versteckten Neuron kommen
• Received Hidden: rh = g_1× x₁+g_2× x₂; Signale, die ans versteckte Neurone gehen

Unter der Annahme, daß die Residuen multivariat normalverteilt sind mit Erwartungswert Null, entspricht die Kovarianzmatrix W dem konstantem Term s^2× I, wobei s² die Varianz der Schätzung und I die Einheitsmatrix wiedergibt. Damit ist die Kovarianzmatrix unabhängig von den Gewichten und kann in der zu maximierenden negierten Kostenfunktion vernachlässigt werden. Man erhält:

Aus der mathematischen Kurvendiskussion ist bekannt, daß im univariaten Fall die erste Ableitung einer Funktion im Maximum Null sein muß. Im multivariaten Fall gilt dies in analoger Weise für den Gradienten. Dieser setzt sich aus den ersten partiellen Ableitungen nach w an der Stelle (w,X) zusammen. Die benötigten partiellen Ableitungen erster Ordnung lassen sich folgendermaßen formulieren:

Für den Gradienten gilt dann:

Aus der mathematischen Kurvendiskussion ist ebenfalls bekannt, daß im univariaten Fall geprüft werden muß, ob die zweite Ableitung der betrachteten Funktion kleiner als Null ist, da sie sonst an der Stelle (w,X) auch ein Minima oder einen Sattelpunkt besitzen kann. Analog dazu wird im multivariaten Fall geprüft, ob die Hessematrix negativ definit ist. Sie wird gebildet aus den zweiten partiellen Ableitungen nach w an der Stelle (w,X). Die benötigten partiellen Ableitungen zweiter Ordnung lassen sich folgendermaßen formulieren:

Da die Hessematrix symmetrisch ist, genügen zu ihrer Berechnung die fünfzehn obigen partielle Ableitungen zweiter Ordnung, obwohl sie im betrachteten Fall insgesamt die Dimension 5 x 5 besitzt. Für die Hessematrix gilt also:

Anhand des Beispiels wird die Komplexität deutlich, die bereits einfache neuronale Netze auszeichnet. Die Berechnung des Gradienten und der Hessematrix erschwert sich mit wachsender Zahl der Neuronen in der ersten versteckten Schicht noch erheblich. Es kommen dann zusätzliche Ableitungsfälle hinzu, da die einzelnen Kantengewichte jeweils unterschiedlichen versteckten Neuronen bzw. unterschiedlichen Ausgabeneuronen zuzuordnen sind. Es gilt in diesem Fall allgemein:

= gh(rh_j)× b _{i× b j×} x_i× x_j× gh’(rh_i)× [go’²(ro)+u× go’’(ro)] mit iÎ I, jÎ J und IÈ J=0

= sh_{j× b i×} gh’(rh_i)× x_i× [go’²(ro)+u× go’’(ro)] mit iÎ I, jÎ J und IÈ J=0

= = 0 mit iÎ I, jÎ J und IÈ J=0

Alle bisher gezeigten Formeln behalten ihre Geltung auch bei Verwendung alternativer Aktivierungs- und Ausgabefunktionen. Eine zu beachtende Restriktion dabei ist jedoch, daß die Aktivierungsfunktion in jedem Fall zweimal stetig different sein muß (ein konstante erste oder zweite Ableitung ist dagegen unproblematisch).

Mit Hilfe von Neurometricus läßt sich der analytische Gradient nicht nur bei keiner oder einer versteckten Schicht berechnen, sondern auch bei beliebig vielen versteckten Schichten. Auf eine Darstellung der dazu nötigen mathematischen Formalismen sei hier verzichtet. Zu ihrer Realisierung sind verschachtelte Iterationsschleifen sowie rekursive Algorithmen vonnöten, die für den Leser über den Sourcecode von Neurometricus leichter nachzuvollziehen sind. Eine analytische Berechnung der Hessematrix bei Vorhandensein mehrerer versteckter Schichten ist mit Neurometricus derzeit nicht möglich. Die "maxlik"-Prozedur bekommt in diesem Fall einen Zeiger überwiesen, der auf eine Funktion verweist, über die die Hessematrix auf numerischem Weg bestimmt wird.

Es sei

X die unabhängigen Variablen,

y die unabhängige Variable,

w die Parameter der Log-Likelihood-Funktion,

k die Anzahl der Parameter,

t die Anzahl der Beobachtungen je Variable,

q(w,y,X) die Log-Likelihood-Funktion,

q’(w,y,X) der Gradienten der Log-Likelihood-Funktion abgeleitet nach w,

q’’(w,y,X) die Hessematrix der Log-Likelihood-Funktion abgeleitet nach w,

n der Index für den n-ten Iterationsschritt,

Q die Richtungsmatrix,

d(w) die Abstiegsrichtung,

h die skalare Schrittweite in der Abstiegsrichtung d(w).

Dann erzeugen die Gradientenabstiegsverfahren theoretisch eine Folge q(w₀), q(w₁), ..., q(w_N) mit der Eigenschaft, so daß gilt:

Als allgemeines Bildungsgesetz für das Parameter-Update w_n+1 wird verwendet:

Der Richtungsvektor d basiert in Neurometricus auf folgender Gleichung

wobei q’ die Dimension k x 1 besitzt und C eine obere Dreiecksmatrix der Größe k x k darstellt. C wird durch eine Cholesky-Faktorisierung aus der symmetrischen k x k-Matrix q’’ gewonnen. Es gilt dann:

Zur Bestimmung des Richtungsvektors d lassen sich demnach folgende Formeln einsetzen:

Es hat sich herausgestellt, daß die Invertierung der Choleky-Dekomposition numerisch stabiler und schneller ist als die Invertierung der vollen Hessematrix. C^-1 oder q’’^-1 stellt die (oben mit Q gekennzeichnete) Richtungsmatrix dar. Warum dies so ist, wird gleich am Beispiel des Newton-Verfahrens erkenntlich. Doch zuvor einige allgemeine Hinweise: Die Gradientenabstiegsverfahren lassen sich durch die Art der Berechnung von Q in eindeutiger Weise identifizieren. Basiert Q in jedem Iterationsschritt auf der Hessematrix bzw. einer Approximation der Hessematrix, so spricht man von Optimierungsverfahren zweiter Ordnung. Wird ein Substitut von Q verwendet, z.B. das Gradientenkreuzprodukt oder die Einheitsmatrix, liegt ein Optimierungsverfahren erster Ordnung vor.

Es sei die Approximation der Taylorreihe zweiter Ordnung der Zielfunktion q mit q^ bezeichnet. Dann gilt im Rahmen des Newton-Verfahrens:

Extrema von q^ lassen sich durch die Bestimmung der Nullstellen von q^’ finden:

= q’(w_n,y,X) + q’’(w-w_n,y,X) = 0.

Daraus folgt:

Aus der weiter oben gezeigten Formel für das Update von w in jedem Iterationsschritt läßt sich dann zeigen:

Zur Verdeutlichung der beschriebenen Zusammenhänge sei folgendes lineare Regressionsproblem gegeben:

wn = 0.1 die Startinitialisierung des zu schätzenden Parameters

Grafisch ergeben y und X folgende Zeitreihen:

Es ist nun auf numerischem Wege y linear auf X zu regressieren. Zielfunktion ist der negierte MSE des linearen Regressionsmodell, also:

Das Newton-Verfahrens läßt sich - vereinfacht - durch folgende Prozedur realisieren:

Nach nur zwei Iterationsschritten wird das Maximum der negierten Kostenfunktion gefunden. Der Parameter w_n nimmt dabei die Werte 0.1, 1.9534 und 1.947728 an. Als Regressionsgerade yh = X× w₃ ergibt sich:

Die anderen Gradientenabstiegsverfahren zweiter Ordnung berechnen die Hessematrix als Basis für die Richtungsmatrix Q nur in der ersten Iteration. Danach wird die Richtungsmatrix Q in jedem Schritt durch eine Matrix K_n korrigiert:

Dabei wird die Matrix K_n so gewählt, daß Q_n+1 positiv definit bleibt. Noch einfacher machen es sich die sogenannten Scoring-Verfahren, die lediglich mit dem Erwartungswert der Hessematrix arbeiten, der sich aus dem Gradientenkreuzprodukt zusammensetzt:

Q_n = -E.

Gradientenabstiegsverfahren der ersten Ordnung ersetzen die Hessematrix durch eine Einheitsmatrix der gleichen Dimension. Sie konvergieren dadurch in der Nähe des Optimums deutlich langsamer. Durch einen speziellen Term k_n, der von Polak und Ribiere vorgeschlagen wurde, lassen sich jedoch auch diese Verfahren effizienter gestalten. Der Richtungsvektor d berechnet sich dann in jedem Iterationsschritt durch:

wobei k_n folgermaßen entwickelt wird:

k_n = .

(inspiriert von W. Sarle 1994a)

Ein Känguruh (Maximierungsprozeß) erhält den Auftrag, den Mount Everst (globales Maximum) zu finden. Notfalls würde auch der K2 akzeptiert werden, nicht aber z.B. der Winterberg im Sauerland. Das Känguruh wird irgendwo mit dem Fallschirm aus einem Flugzeug abgeworfen (Initialisierung der Startgewichte mit einem Zufallswert). Es landet dabei umso näher am Zielgebiet, je besser der Pilot die Landschaft kennt (Einschränkung des Zufallsbereichs der Gewichteinitialisierung).

Das Känguruh kauert auf dem Boden, um es herum ist dichter Nebel. Wie soll es in dieser undurchsichtigen Suppe bloß den Mount Everest finden können? Nach langen Grübeln hat es sich schließlich einige Strategien zurechtgelegt.

Die folgenden Strategien verhelfen dem Känguruh stets auf einen Berggipfel hinauf. Es ist aber keineswegs sichergestellt, daß es sich dabei auch um den Gipfel des Mount Everest handeln wird.

(1) Online-Backpropagation: Das Känguruh hat mit erschwerten Bedingungen zu kämpfen, denn durch Erdbeben schrumpfen und wachsen die Berge in seiner Nähe ständig (Online-Gewichtung des Netzwerks). Dadurch kann es nur schwerlich eine Sprungrichtung finden, weshalb es sich mit vielen kleinen, wenig gezielten Hüpfern (Iterationen) behilft.

(2) Steilster Aufstieg: Jetzt bleibt die Umgebung stabil. Das Känguruh grübelt daher auch nicht lange, sondern sucht sich einfach die steilste Stelle in seiner lokalen Umgebung (Gradientenmaximum) und springt in diese Richtung. Dort angekommen sucht es nach der nächsten steilen Stelle und springt weiter, bis es schließlich auf dem höchsten Punkt angekommen ist (Gradient gleich Null). Das geht zwar schnell, kann aber auch auf dem Winterberg im Sauerland enden.

(3) Konjugierter Gradientenabstieg: Das Känguruh verhält sich ähnlich wie in (2), jedoch merkt es sich diesmal die jeweilige Sprungrichtung. Findet es einen steilsten Aufstieg in einer anderen Richtung, folgt es diesem nur bedingt. Im Mittel springt es lieber in der gleichen Richtung den Berg herauf. Es glaubt: "In der Richtung, in der es insgesamt am meisten nach oben führt, da wird am Ende auch der Mount Everest zu finden sein."

(4) Scoring-Verfahren: Statt wie in (5) lange nach einer quadratischen Form zu suchen, benutzt das Känguruh die steilste Stelle in seiner Umgebung, um die vielversprechenste Sprungrichtung zu bestimmen (Gradientenkreuzprodukt). Danach macht es jedoch im Prinzip das gleiche wie in (5).

(5) Quasi-Newton: Das Känguruh spring in die Richtung, in der es eine schöne quadratische Form erkennen kann (quadratische Taylorreihenapproxmiation). Kann es diese nicht mit einem einzigen Sprung erreichen, korrrigiert es seine Richtung ein wenig und probiert es erneut (Approximation der Hesse). Es denkt sich: "Lieber hüpfe ich oft, schnell und ungenau, als wenig, langsam und genau."

(6) Newton-Raphson: Das Känguruh springt wie in (5) in die Richtung, in der es eine quadratische Form ausmachen kann. Muß es mehrmals springen, so berechnet es jedesmal auf ’s neue die beste Sprungrichtung (Berechnung der Hesse). Oben angekommen, kann es dennoch nur hoffen, daß es sich um den Mount Everest handelt.

Die folgenden Strategien führen das Känguruh früher oder später auf den Mount Everest hinauf. Im Mittel jedoch eher später als früher ...

(1) Simuliertes Ausglühen: Das Känguruh besäuft sich ersteinmal und hüpft dann ziemlich planlos (stochastisch) in der Landschaft herum. Je länger es dies tut, desto nüchterner wird es jedoch, und um so wahrscheinlicher wird es, daß es auf dem höchsten Gipel landet.

(2) Genetische Algorithmen: Das Känguruh ruft seine Kumpels zu Hilfe, die auch prompt von überall her kommen. Leider haben sie keine Ahnung, daß sie den Mount Everest suchen sollen. Da jedoch die in den tieferen Ebenen hüpfenden Känguruhs von Jägern eingefangen werden, mutieren die Känguruhs dahingehend, daß sie sich lieber in höheren Gefilden herumtreiben. Irgendwann wird eines davon schließlich auf dem Mount Everest landen.

(3) Sintflut-Algorithmus: Das Känguruh hüpft auf den erst besten Hügel und wartet dort auf die nächste Sintflut. Wenn das Wasser die Hügelspitze erreicht hat, guckt es um sich, springt in ‘s Wasser und schwimmt zum nächsten Gipfel, um dort auf eine weitere Sintflut zu warten. Irgendwann einmal wird es so auf dem Mount Everest landen.

Es sei

t die Anzahl der Beobachtungen,

k die Anzahl der Modellparameter,

i die Anzahl unabhängiger Variablen,

X eine t x i-Matrix mit unabhängigen Variablen,

y ein t x 1-Vektor mit einer abhängigeVariable.

Betrachtet wird das lineare Regressionsmodell

In diesem Fall gilt i = k, d.h. jeder Modellparameter ist genau einer X-Variablen zugeordnet. Aus der Größe des Parameters nach der Schätzung kann auf die Bedeutung der X-Variable für die Regression geschlossen werden. Die Kovarianzmatrix der Parameter berechnet sich durch:

cov = (X’X)^-1.

Auf Basis der Kovarianzmatrix der Parameter werden diverse weiterführende Statistiken berechnet, z.B. die Korrelationsmatrix, die Standardabweichung, die t-Werte der Parameter u.s.w. Bei der Diagnose der Parameter einer Schätzung nimmt also die Kovarianzmatrix und insbesondere der enthaltene (X’X)^-1-Term eine wesentliche Rolle ein.

Betrachtet wird nun ein nichtlineares Regressionsmodell (welches durch ein neuronales Netzwerk abgebildet wird). In diesem Fall gilt:

wobei F die wahre Funktion darstellt, die durch die Netzwerkfunktion f approximiert werden soll. Die Approximation f wird determiniert durch die Modellparameter wh, die einer Schätzung der optimalen Parameter w der wahren Funktion F entsprechen. Sei

gemäß der in der Arbeit angegeben Konventionen für die Gewichte von Neurometricus-Netzwerken. Dann ist die Netzwerkfunktion in Matrixnotation

wobei go die Ausgabefunktion und gh die Aktivierungsfunktion bezeichnen. Hier gilt, daß die Anzahl der Modellparameter k größer als die Anzahl der unabhängigen Variablen i ausfallen kannt. Da die (X’X)^-1-Matrix nur die Dimension i x i besitzt, kann sie dann zur Berechnung der Kovarianz der k Parameter nicht immer herangezogen werden. Im nichtlinearen Fall muß die (X’X)^-1-Matrix daher durch eine Schätzung substitituiert werden. Eine solche Schätzung ist - asymptotisch - mit der inversen Hessematrix der Kostenfunktion h^-1 bzw. dem inversen Gradientenkreuzprodukt der Kostenfunktion gc^-1 an der Stelle (wh,y,X) gegeben. Sie besitzt die geforderte Dimension k x k und entspricht exakt der (X’X)^-1-Matrix, wenn wh nur aus Alpha-Gewichten besteht. Für die im linearen und nichtlinearen Fall asymptotisch gültige Kovarianzmatrix der Parameter gilt also:

cov = und

cov =

Durch eine Kombination der Hessematrix und dem Gradientenkreuzprodukt kann eine heteroskedastie-konsistente Kovarianzmatrix der Parameter berechnet werden. Sie besitzt den Vorteil, auch dann unverzerrt und asymptotisch effizient zu sein, wenn die Streuung der Residuen des zugrundeliegenden Modells nicht konstant ist. Dadurch behalten die oben erwähnten weiterführenden Statistiken im Falle von Heteroskedastizität ihre Gültigkeit bei. Die Formel der heteroskedastie-konsistenten Kovarianzmatrix der Parameter ist

cov = .

Sei i die Anzahl der Eingabevariablen, o die Anzahl der Ausgabevariablen, t die Anzahl der Beobachtungen und k der Freiheitsgrad des zugrundeliegenden Modells. Dann gilt:

• Eingabevariablen: x = t x i-Matrix
• Ausgabevariablen: y = t x o-Matrix
• Aktuelle Modellparameter:
• Normal: wh = k x 1-Vektor mit geschätzen Log-Likelihood-Parameter
• Nach v Resampling-Schätzungen
• Matrixform: wh = v x k-Matrix mit v geschätzten Log-Likelihood-Parametern. Liefert für die meisten der folgenden Statisiken statt Skalaren v x 1-Vektoren zurück.
• Vektorform: wh = k x 1-Vektor mit Mittelwerten der Resampling-Matrix
• Approximationsfunktion: yh = t x o-Matrix mit Netzfunktion(wh,x)-Werten
• Residuen: u = y-yh
• Negierter Gradient der Kostenfunktion (1.Ableitung nach Zeit):
• Analaytisch: g = t x o-Matrix
• Numerisch: g = n x o-Matrix
• Negierter Gradient der Kostenfunktion (1.Ableitung nach Parametern):
• Analytisch: gw = k x o-Matrix
• Numerisch: gw = k x o-Matrix
• Gradientenkreuzprodukt der Kostenfunktion: gc =
• Negierte Hessematrix der Kostenfunktion geteilt durch t:
• Analytisch: h = k x k-Matrix
• Numerisch: h = k x k-Matrix
• Sum of Errors: se =
• Absolute Sum of Errors: ase =
• Sum of Squared Errors:
• Ein Output: sse = u’u
• Mehrere Outputs: sse = det(u’u)
• Sum of Errors u/y: seuy =
• Absolute Sum of Errors u/y: seuy =
• Varianz der Schätzung: var =
• Kovarianz:
• Normal: c =
• Subsitut: c =
• Heteroskedastie-konsistent: c =
• Sum of Total Errors: sst =
• Durbin Watson-Statistik: dw =
• Mean Squared Error: mse =
• "Echte" Log-Maximum-Likelihood: lml =
• Standardabweichung der Parameter: stdpara =
• t-Statistik der Parameter: tstat =
• Transformierter Kostenfunktionswert: qv =
• Akaike-Informationskriterium: aic =
• Schwarz-Informationskriterium: sic =
• Netzwerk-Informationskriterium: nic =
• Godness of Fit-Selektionskriterium: r2 =
• Godness of Fit-Selektionskriterium (justiert):
• F-Statistik der Schätzung: fstat =
• Prediction Criterion: pc =
• Final Prediction Error: fpe =
• Root Mean Squared Error: rmse =
• Mean Error: me =
• Mean Percent Error: mpe =
• Mean Absolute Error: mae =
• Mean Absolute Percent Error: mape =
• Standardnormalverteilung beim a /2-Sicherheitsniveau: = Tabellenwert
• Konfidenzintervall:

Sei x_t eine n x k-Matrix, x_min der k x 1 Vektor der Minima von x_t und x_max der k x 1 Vektor der Maxima von x_t.. Dann gilt für die [a,b]-Intervall-Normierung:

.

Sei x_t eine n x k-Matrix, m _x der k x 1 Vektor der Mittelwerte von x_t und s _x der k x 1 Vektor der Varianzen von x_t. Dann gilt für die Mittelwert-Varianz-Normierung:

.

Betrachtet werden die univariaten Zeitreihen (Variablen)

x = {0.02, 0.04, 0.06, ..., 0.98, 1},

c = {1, 1, 1, ..., 1, 1} und

y = 0.5+x².

Eine lineare Einfachregression ohne Konstante regressiert y auf x folgendermaßen:

Ohne einen konstanten Eingabevektoren wird jede Regression "gezwungen", durch den Ursprung zu verlaufen. Im Beispiel führt das zu einer erheblichen Verzerrung der Regression, da y oberhalb von Null die Ordinate kreuzt. Von größerer Güte fällt daher die Regression aus, wenn y auf x und c regressiert wird, wie folgende Abbildung demonstriert:

Untenstehende Tabelle gibt das grafisch gezeigte Ergebnis in metrischer Form wieder. Als Gütemaß für die Schätzung des Modells wurde dabei das in der Statistik übliche R²-Kriterium herangezogen.